Математический анализ теплового потока

Одним из основных методов исследования температурного поля является математический анализ теплового потока от отливки к форме, дающий возможность оценить физические явления процесса теплопередачи.

Для дальнейшего рассмотрения тепловых процессов при литье под давлением необходимо ознакомиться с основами общей теории теплопередачи и теории подобия, которые в наиболее простой и в то же время строгой форме изложены в монографии А. И. Вейника «Тепловые основы теории литья».

В общем виде процесс распространения тепла определяется дифференциальным уравнением Фурье — Кирхгофа:

                               (63)

где Dt/dτ - полная (субстанциальная) производная, отражающая изменение температуры как во времени, так и в пространстве,

а — коэффициент температуронроводимости; ∇²t — оператор Лапласа;

После прекращения движения расплавленного металла в момент окончательного заполнения формы левая часть уравнения (63) зависит только от времени Dt/dτ= ∂t/ ∂τ и уравнение (63) принимает вид

                               (64)

Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье.

Для одномерного поля, в котором температура изменяется только вдоль одной оси (плоская отливка, тонкостенная коробчатая или цилиндрическая отливка), уравнение теплопроводности еще больше упрощается:

                               (65)

Уравнения (63), (64) и (65) представляют собой только общую связь между изменениями температур во времени и пространстве.

Чтобы получить из множества возможных решений конкретное решение, необходимо определить условия однозначности.

Для заданного тела (тела определенной геометрической формы с определенными физическими свойствами; кроме того, для упрощения решений в дальнейшем физические свойства λ, с, ρ будем считать постоянными) условия однозначности сводятся к заданию начальных и граничных условий.

Начальные (временные) условия характеризуют состояние системы в исходный момент времени. Например, при рассмотрении заполнения формы в начальный момент (при τ = 0) температура расплавленного металла равна температуре заливки минус потери в литниковой системе (t = t_зал — Δt_л.c).

Граничные условия характеризуют тепловое взаимодействие между отливкой и формой. Теплообмен на поверхности тела описывается уравнением закона Ныотона:

q = α(t-t_ф),                                                (66)

где t — температура расплавленного или затвердевшего металла отливки; t_ф — температура поверхности формы; α — коэффициент теплоотдачи.

Полное количество теплоты, передающееся через поверхность dF за элементарный отрезок времени dτ, определяется выражением:

d²Q = α(t — t_ф)dFdτ.                                      (67)

Коэффициент теплоотдачи а в выражениях (66) и (67) является постоянной величиной только при малых значениях разности температур (t— t_ф). В условиях литья под давлением коэффициент а зависит от времени, конфигурации отливки, величины перепада температур между отливкой и формой.

Точное решение задачи затвердевания возможно лишь в простейших случаях. Примером такого решения является решение Стефана для плиты. Однако его использование в расчетах затрудняется определением корней трансцендентных уравнений.

Более простой способ приближенного решения дифференциального уравнения   теплопроводности предложен И. Д. Семикиным и 3. M. Гольдфарбом. Воспользуемся  этим решением  для определения  времени затвердевания   плоской отливки в стальной массивной пресс-форме, считая, что форма заполняется почти мгновенно, без существенного охлаждения расплавленного металла. Такое допущение возможно при заполнении массивной отливки ламинарным или квазиламинарным (при переходе от ламинарного к турбулентному) потоком через толстый питатель.

Процесс затвердевания сопровождается выделением скрытой теплоты затвердевания и постоянным нарастанием толщины затвердевшего слоя ξ (рис. 80,a). Рис. 80. Схема затпердевания отливки: а — нарастание затвердевшего слоя; б — полное затверлевание отливки и  прогрев формы толщиной sф

Разберем наиболее простой случай охлаждения при постоянном тепловом потоке через затвердевшую корку.

Дифференциальное уравнение теплопроводности одномерного поля (65) можно записать в следующем виде:

                                        (68)

где t — температура в любой точке M на расстоянии x от центральной оси отливки OO; λ_м, с_м и ρ_м — коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость и плотность металла отливки.

Основные допущения при определении температурного поля:

• а) независимое рассмотрение температурных полей отливки и формы.
• б) прямолинейное распределение температур по сечению затвердевшего слоя,
• в) влияние выделения скрытой теплоты затвердевания учитывается косвенным увеличением теплоемкости затвердевшего слоя отливки.
• г) отсутствие зазора между отливкой и формой, а также отсутствие слоя смазки.

При отсутствии смазки в условиях литья под давлением зазор начинает образовываться после снятия давления на металл (после полного затвердевания литниковой системы).

Начальные условия для температуры означают, что температура на границе раздела жидкого и затвердевшего металла постоянна и равна температуре затвердевания t = t_зат = const.

Температуру поверхности отливки и формы при отсутствии зазора можно принять равной температуре контакта t_п = t_к. В момент соприкосновения жидкого металла с формой происходит мгновенный разогрев поверхности и некоторое охлаждение металла, причем температура заливаемого металла t_зал и стенок формы t_ф стремится к одномузиаченню, определяемому формулой

где b'_м=√λ'_мс'_мρ'_м — коэффициент аккумуляции тепла в жидком металле в вт·сек ½ /м2°С;

b_ф = √λ_фc_фρ_ф — коэффициент аккумуляции материала формы.

Принимаем следующие граничные условия:

• а) тепловой поток на охлаждаемой поверхности постоянен, q_п = const;
• б) тепловой поток на границе раздела жидкого и затвердевшего металла равен нулю, т. е. при x = H/2-ξ, q = 0.

Скорость охлаждения по сечению затвердевшего слоя толщиной ξ принята постоянной

где Δτ—время затвердевания слоя. Скорость охлаждения для элементарного отрезка времени ∂τ.

С другой стороны, скорость охлаждения можно представить, как уменьшение теплового потока:

где q₀ — удельный тепловой поток на поверхности слоя в вт/м2; F₀ — поверхность охлаждения в м2; m — масса охлаждаемого слоя в кг; с_м — удельная теплоемкость металла отливки в дж/кг°С.

Отношение поверхности охлаждения к весу охлаждаемого слоя заменим через толщину слоя ξ. Так как ξ=V_м/F0 , где V_м — объем затвердевшего слоя, равный V_м = m/ρ_м, то ζ = m/ρ_мF₀ , откуда F₀/m=1/ξρ_м. Подставляя это значение   отношения  F0/m в выражение скорости охлаждения, получим

В случае полного затвердевания отливки значение скорости охлаждения при ξ=Н/2 подставим в дифференциальное уравнение (68) после интегрирования с учетом граничных условий и получим следующее выражение для температурного поля отливки:

Если x = 0 (рис. 80, б), то температура в центре отливки равна температуре затвердевания t = t_зат. При x=Н/2 температура стремится к температуре контакта на поверхности отливки t→t_п = t_к.

Изменение температуры по сечению отливки представлено на рис. 80, б кривой AB. Необходимо учитывать, что кривая AB построена для полностью затвердевшей отливки. В затвердевшем слое толщиной ξ принят прямолинейный закон изменения температуры. Перейдем к определению продолжительности затвердевания при допущении постоянства теплового потока.

Формула для определения перепада температур по толщине охлаждаемого слоя имеет вид:

                        (70)

Средняя температура по толщине слоя t_ср с учетом неравномерности распределения  температур

                                 (71)

Зависимость между толщиной охлаждаемого слоя и временем может быть получена из уравнения теплового баланса:

q₀τ = ξρ_мс_м(t_зат - t_ср)

После подстановки вместо tср ее значения из выражения (71), в котором заменяем перепад температур Δt его значением из формулы (70), определим время затвердевания

Полное время затвердевания отливки τ_зат  будет найдено при ξ=Н/2

                                (72)

При выводе данной формулы тепловой поток считается неизменным. В реальных условиях он изменяется за счет выделения теплоты затвердевания.

Для учета влияния скрытой теплоты затвердевания заменим коэффициент  условным коэффициентом температуропроводимости:

где

r — скрытая теплота затвердевания в дж/н.

Подставляя  значение аусл в формулу (72) и заменяя tcp ее значением из выражения (71), получим

                               (73)

Принимая в формуле (73) разность t_зат — t_п равной для цинковых сплавов 250°С, для алюминиевых и магниевых 450°С и для медных 750°С, получим расчетные формулы определения τ_зат в сек для различных сплавов:

где H — толщина отливки в мм.

На рис. 81 представлены графические зависимости времени затвердевания отливок толщиной от 2 до 10 мм для различных сплавов, из которых видно, что время затвердевания отливок из цинковых сплавов (4) намного нммг превышает время затвердевания отливок из алюминиевых (1), магниевых (2) и медных (3) сплавов. Этим объясняется высокая чистота поверхности и малая пористость отливок из цинковых сплавов.

Значения продолжительности затвердевания, подсчитанные по аналитическим формулам (74), отличаются от действительных значений этих величин при литье под давлением на 15—30%. Рис. 81. Изменение времени затвердевания  в зависимости от толщины стенки отливок для различных сплавов